Mathematik
Vom Rechnen zur Abstraktion
Verfolgen Sie, was mathematisch denkbar wurde, als Menge, Raum, Unsicherheit, Veränderung, Struktur und Beweis neue Formen annahmen.
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ca. 3400 v. Chr.
Uruk-Tafeln bewahren Zahlenkonten
Schreiberverwaltungen von Uruk
Tafeln aus dem späten 4. Jahrtausend v. Chr. verwendeten Zahlzeichen neben Warenzeichen und machten Verwaltungsmengen dauerhaft und prüfbar, ohne zu unterstellen, Schrift habe als moderne Arithmetik begonnen.
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frühes 2. Jahrtausend v. Chr.
Das sexagesimale Stellenwertsystem erweitert die Darstellung
Altbabylonische Schreiber
Mesopotamische Schreiber verwendeten ein Positionssystem zur Basis sechzig für ganze Größen und Brüche; die Stellung eines Zeichens trug seinen Größenwert, noch bevor ein einheitlicher Nullplatzhalter existierte.
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Kopie ca. 1650 v. Chr.
Der Rhind-Papyrus sammelt ausgearbeitete Verfahren
Ahmes und frühere ägyptische Schreiber
Eine um 1650 v. Chr. angefertigte erhaltene Kopie bewahrt arithmetische und geometrische Aufgaben aus einer älteren Vorlage; das Datum bezeichnet die Kopie und nicht den Ursprung jedes enthaltenen Verfahrens.
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5.–4. Jahrhundert v. Chr.
Deduktiver Beweis wird zu einer mathematischen Praxis
Griechische mathematische Gemeinschaften
Griechische mathematische Traditionen ordneten Behauptungen zunehmend als Definitionen, Annahmen und Beweisführungen und verlagerten die Frage davon, ob eine Regel funktionierte, dazu, warum sie folgte.
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ca. 300 v. Chr.
Die Elemente ordnen Mathematik axiomatisch
Euklid und frühere griechische mathematische Traditionen
Euklid ordnete Definitionen, Postulate, allgemeine Grundsätze und Beweise zu einer durchgehenden deduktiven Architektur und machte Ergebnisse aus angegebenen Annahmen reproduzierbar.
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zusammengestellt spätestens ca. 1. Jahrhundert
Die Neun Kapitel ordnen algorithmische Mathematik
Autoren und Kommentatoren der Neun Kapitel
Der überlieferte Text aus der Han-Zeit (China) stellt Verfahren für Landvermessung, Proportionen, Besteuerung, lineare Probleme und Geometrie vor; spätere Kommentare erklären, warum die Algorithmen funktionieren.
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628
Null wird zum Gegenstand arithmetischer Regeln
Brahmagupta
Brahmagupta formulierte Rechenregeln für die Null und unterschied sie von positiven und negativen Zahlen, obwohl seine Behandlung der Division durch null nicht modern war.
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ca. 820 n. Chr.
Algebra wird zu einer systematischen Problemmethode
Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī
Al-Chwarizmi klassifizierte und löste Gleichungstypen durch Ergänzen und Ausgleichen in rhetorischer Form und etablierte Algebra als lehrbare Methode ohne moderne Symbole.
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1202
Der Liber Abaci passt indisch-arabisches Rechnen an
Leonardo von Pisa und mediterrane Rechentraditionen
Fibonacci stellte einer lateinischen Leserschaft dezimale Positionsziffern und kaufmännische Algorithmen vor — ein einflussreicher Übertragungsmeilenstein und nicht die europäische Erfindung des Systems.
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1591
Buchstaben drücken bekannte und unbekannte Größen systematisch aus
François Viète
Viète verwendete Buchstaben sowohl für gegebene als auch für unbekannte Größen und erlaubte, Klassen von Gleichungen allgemein statt nur als ausgearbeitete Zahlenbeispiele umzuformen.
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1637
Geometrie und Algebra werden wechselseitig übersetzbar
René Descartes
Descartes zeigte, wie Kurven und geometrische Probleme durch Gleichungen und algebraische Operationen ausgedrückt werden konnten, und machte Form symbolischer Berechnung zugänglich.
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1654
Glücksspiele werden zu mathematischem Erwartungswert
Blaise Pascal · Pierre de Fermat
Der Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat untersuchte die gerechte Teilung der Einsätze bei abgebrochenen Spielen und half, unsichere Ergebnisse in Größen zu verwandeln, über die sich schlussfolgern ließ.
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1684
Differentialrechnung erscheint im Druck
Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz veröffentlichte Regeln und eine Notation für Differentiale und gab der Infinitesimalrechnung eine kompakte symbolische Sprache. Seine Entwicklung erfolgte unabhängig von Newton und hatte eine andere Veröffentlichungsgeschichte.
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frühes 19. Jahrhundert
Komplexe Zahlen erhalten eine geometrische Ebene
Carl Friedrich Gauss
Gauß' öffentliche Erörterung trug dazu bei, komplexe Zahlen als Punkte einer zweidimensionalen Ebene zu etablieren, und machte ihre Operationen zu geometrischen Transformationen statt formalen Unmöglichkeiten.
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1829
Nichteuklidische Geometrie wird ausdrücklich formuliert
Nikolai Lobachevsky
Lobatschewski veröffentlichte eine kohärente Geometrie, in der Euklids Parallelenpostulat ersetzt ist, und zeigte, dass eine in sich schlüssig begründete Geometrie nicht nur einen möglichen Raum beschreiben muss.
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Manuskripte 1830–1832; Veröffentlichung 1846
Symmetrie bestimmt die Lösbarkeit von Gleichungen
Évariste Galois
Galois verknüpfte Permutationen von Nullstellen mit der Frage, ob Polynomgleichungen durch Radikale lösbar sind; vor seinem Tod verfasste Manuskripte wurden später veröffentlicht und anerkannt.
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1874
Mengen ordnen unendliche Gesamtheiten mathematisch
Georg Cantor
Cantors Arbeiten über Mengen reeller Zahlen führten Methoden ein, aus denen die Mengenlehre erwuchs, und machten unendliche Gesamtheiten zu unmittelbaren mathematischen Gegenständen.
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1879
Eine Formelsprache erfasst quantifiziertes Schließen
Gottlob Frege
Freges Begriffsschrift führte einen präzisen logischen Kalkül mit Quantifizierung ein und machte die Schlussstruktur mathematischer Aussagen selbst zu einem manipulierbaren Gegenstand.
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1931
Formale Arithmetik stößt an innere Grenzen
Kurt Gödel
Gödel zeigte, dass hinreichend ausdrucksstarke, konsistente formale Systeme mit mechanisch festgelegten Axiomen und Schlussregeln einige arithmetische Wahrheiten innerhalb dieser Systeme unbeweisbar lassen. Unter den erforderlichen Bedingungen für die Darstellung von Beweisen können sie auch ihre eigene Konsistenz nicht beweisen.
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1976
Ein bedeutender Beweis überlässt die vollständige Fallprüfung dem Computer
Kenneth Appel · Wolfgang Haken
Appel und Haken bewiesen, dass vier Farben für eine ebene Karte aus zusammenhängenden Gebieten ausreichen, wenn Gebiete mit gemeinsamer Grenze verschiedene Farben erhalten. Ihre Computerprüfungen zahlreicher Konfigurationen veränderten die Debatte darüber, was als überprüfbarer mathematischer Beweis gilt.
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